Complementi di
Metodi Matematici

A.A. 2023/24

Introduzione al corso

Lo scopo del corso è rendere lo studente familiare con gli strumenti di base per trattare le algebre di Lie e le loro rappresentazioni. Inoltre lo studente dovrà apprendere a svolgere calcoli al computer, sia di natura simbolica sia di natura numerica, rilevanti per gli argomenti del programma del corso. Per tali calcoli è previsto l'utilizzo dei linguaggi Wolfram e Python o linguaggi alternativi preferiti dallo studente.

Modalità d'esame

L'esame prevede una prova scritta, che richiede di scrivere un programma per computer e una prova orale. Sono previsti dei test intermedi durante il periodo di lezione. Gli studenti che superano i test scritti intermedi sono ammessi all'orale.

Il programma per computer necessita l'utilizzo dei metodi di calcolo simbolico e numerico esposti a lezione. L'utilizzo di questi metodi é descritto in dettaglio tamite esercizi svolti in notebook Mathematica o iPython linkati ad ogni argomento del programma.

L'orale verte sulle algebre di Lie. Gli argomenti trattati sono elencati qui di seguito (ad esclusione degli argomento con asterisico *, il programma é aggiornato a fine corso).

Introduction to the course

The aim of the course is to learn the basic tools to deal with Lie algebras and their representations and to acquire computer calculation techniques, both for symbolic and for numerical calculations. Topics of the course will be dealt with using either Wolfram Language and Python or alternative computer languages preferred by the student.

Exam

The exam is made of a written test and an oral discussion. The written test requires the writing of a computer program in the computer lab. Mid-term exams are given during the lecture period. The students passing these intermediate tests are admitted to the oral exam.

The computer program required to pass the written exam uses the symbolic and numerical methods presented in the lectures. These methods are presented in commented excercises available in Mathematica or iPython notebooks linked to each topic of the syllabus.

The oral discussion starts from questions on the Lie Algebra topics listed here below (except topics marked with *, list updated at the end of the course).

Programma Dettagliato

  • Metodi Numerici

      Probabilità e variabili random DU1
      Richiami su Misure, inceretezze e loro propagazione analitica. Propagazione numerica delle incertezze. TA1,2,3,4 (notebook)
      Richiami su Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione. Propagazione numerica delle incertezze. TA8,9 (notebook)(utility)
      Integrazione numerica classica, velocità di convergenza WE2 (html) (ipynb) (nb)
      Integrazione MC, media e varianza WE3, DU3.1, DU3.2 (html) (ipynb)
      Strategie di campionamento* WE3
  • Applicazioni
      • Generazione di dati secondo una distribuzione* DU3.2 (ipynb) (html)
  • Algebre di Lie (Ogni argomento qui elencato corrisponde ad un capitolo sul libro indicato in bibliografia con CA, che comprende anche esercizi suggeriti per la preparazione dell'esame scritto)
      La forma di Killing (note)
      Algebre di Lie semplici (note)
      Rappresentazioni e pesi (note)
      Radici e loro prodotto scalare (note)
      Radici semplici (note)
      Matrice di Cartan (note)
      Diagrammi di Dynkin (note)
      Indice di Dynkin e pesi della rappresentazione dal peso più alto (note)
      Combinazione di rappresentazioni (note)
      Classificazione delle algebre "classiche"e di quelle "eccezionali" (note)
  • Applicazioni
      Oscillatore armonico 3D* (RA 5.5.1)
      L'atomo d'idrogeno e il vettore di Laplace-Runge-Lenz* (RA 5.5.2)
      SU(3), mesoni e barioni* (RA 6.7.3, 6.7.4)
      Costruzione dell'algebra, esempio di SU(N)*(note)
      Operatore di Casimir e la formula di Freudenthal*
      Il gruppo di Weyl *
      La formula della dimensione di Weyl *
      Riduzione del prodotto di rappresentazioni *
      Sub-algebre *
      Regole di decomposizione *

    • Syllabus

  • Numerical Methods

      • Refresh on Probability and Random variables
      Refresh on Measurement, uncertainty and its propagation
      Refresh on Curve-fitting, least-squares, optimization
      Classical numerical integration, speed of convergence
      Integration MC (Mean, variance)
      Sampling Strategies
  • Applications
      • Generation according to a distribution
  • Lie Algebras (CA)
      SU(2) and SU(3)
      The Killing Form
      Simple Lie Algebras
      Representations
      Simple Roots and the Cartan Matrix
      The Classical Lie Algebras
      The Exceptional Lie Algebras
  • Applications
      3D Harmonic Oscillator
      Bohr hydrogen atom and the Laplace-Runge-Lenz vector
      SU(3), mesons and baryons
      Casimir Operators and Freudenthal’s Formula
      The Weyl Group
      Weyl’s Dimension Formula
      Reducing Product Representations
      Subalgebras
      Branching Rules

    • Letture consigliate

    Suggested readings

    Risorse

      Materiale didattico
        Introduzione a Wolfram Mathematica (notebook)
        Manipolazione di liste e suddivisione del programma in calcolo+iterazione in Wolfram Mathematica (notebook)
        Generazione di una Matrice di Cartan NxN (notebook)
        Propagazioni degli errori e Repliche (notebook)
        Introduzione a Python (con Jupyter) (ipynb) (html)
        Funzioni con argomento vettoriale (ipynb) (html)
        Manipolazioni liste Pandas e Numpy (ipynb)(html)

        Generazione di funzioni polinomiali R N → R (html)

      Materiale Avanzato

        Distribuzione di clacolo su più nodi con Ray e "just in time compilation" con Numba (ipynb)(html)
  • Guide pratiche:

    • Resources