interpolazione

Interpolazione ed estrapolazione

Il problema consiste nel calcolare il valore assunto da una funzione f(x) in un punto x arbitrario, noti i valori della funzione in un insieme finito di punti xi con i=1,...,N.

Se x è compresa tra due punti noti si parla di interpolazione, se è all'esterno dell'intervallo coperto dai punti noti si parla di estrapolazione.

Illustriamo qui uno dei metodi più semplici.

Interpolazione mediante polinomi

Dato un qualsiasi insieme di N punti esiste un unico polinomio di ordine N-1 passante per questi punti. È definito dalla formula di Lagrange:

PN-1(x)=i( j (x-xj)/(xi-xj) ) f(xi)

dove la sommatoria è sull'indice i e va da 1 a N, la produttoria è sull'indice j e va da 1 a N con j diverso da i

Errore

L'errore commesso sull'interpolazione della funzione f nel punto x è

r(x)=f(x)-Pn(x) con n grado del polinomio interpolatore

Se la funzione f è derivabile almeno n volte abbiamo un teorema che afferma che esiste almeno un punto appartenente all'intervallo x1...xN nel quale

r(x)=g((x-xi), dove la produttoria è su i

compreso tra 1 e N, e g è la derivata n-ma

(n=N-1) della funzione f

Esempio

Supponiamo di cercare una funzione passante per i punti (0,0), (-1,1) e (1,1).

Il polinomio di Lagrange avrà grado 2 e sarà dato da

P2(x) = (x+1)/(0+1)*(x-1)/(0-1)*0 // i=1

+(x-0)/(-1-0)*(x-1)/(-1-1)*1 // i=2

+(x-0)/(1-0)*(x+1)/(1+1)*1 // i=3

= x*(x-1)/2+x*(x+1)/2 = x2

Regressione (fit)

se invece abbiamo un insieme di dati sperimentali che seguono un andamento funzionale previsto da un modello teorico dipendente da un insieme di parametri possiamo usarli per

estrarre i parametri del modello

stimare l'errore su di essi

valutare la bonta' della descrizione fornita dal modello

fit lineare

il caso piu' semplice e piu' diffuso di fit e' quello lineare. La funzione che si suppone che possa descrivere i dati sperimentali e' una retta y=Ax+B.

I dati sperimentali sono n coppie di punti (xi,yi) e le incertezze (errori) su queste grandezze. Per semplicita' assumiamo che le incertezze sulle xi siano trascurabili rispetto a quelle sulle yi che chiamiamo si.

I parametri A e B si determinano minimizzando la quantita' c2=Si=1,n(( yi-(Axi+B))/si)2

le formule risultanti nella versione piu' idonea per il calcolo numerico si trovano sul testo al paragrafo 8.1.1

2007-01-11T11:50:27