3) Rappresentazione dei dati in memoria

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La memoria

Una memoria deve essere un insieme di oggetti a più stati. Questi oggetti devono essere tali che:

le dimensioni siano limitate

il tempo necessario per registrare o leggere un'informazione sia minore possibile

l'energia necessaria sia minima

la registrazione e la lettura siano affidabili

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Elementi di memoria

Le ultime 4 condizioni non sono realizzabili con dispositivi meccanici, ma solo con sistemi magnetici e/o elettronici.

Non esistono però sistemi magnetici o elettronici con più di due stati (mentre questo è possibile con dispositivi meccanici).

Per gli elementi di memoria dei calcolatori vengono quindi utilizzati elementi non meccanici a due stati.

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Numeri e loro codifica

Per non confondervi ricordate sempre che:

Un numero ha un valore quantitativo intrinseco, indipendente dalla rappresentazione usata per esprimerlo in cifre (numerale).

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Codifica e Basi

Noi usiamo abitualmente la base 10 per esprimere in cifre i numeri, forse perché abbiamo 10 dita. Per rappresentare il numero 12 ad esempio contiamo fino a 10, esauriamo le dita, scriviamo quindi un 1 "nella colonna delle decine" e ricominciamo a contare. Contiamo 2 e lo scriviamo "nella colonna delle unità", ottenendo appunto 12.

Supponiamo di avere solo un dito, come una memoria del calcolatore: come rappresenteremmo il numero 5?

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Rappresentazione in base 2

Cominciamo a contare: 0, 1, 2, ma a 1 abbiamo già finito le dita, scriviamo quindi 10 (che vale 2) e continuiamo a contare.

3 sarà espresso come 11

4 sarà espresso come 100

5 sarà dato da 101

Formalmente

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Sistema di numerazione posizionale

La rappresentazione delle informazioni numeriche con il sistema posizionale è definita dall'espressione:

in cui: b è la base, le cifre a sono elementi di un

insieme costituito da b simboli diversi, il punto separa gli elementi associati a termini con esponente negativo da quelli associati a termini con esponente positivo o nullo.

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Basi di uso più comune

Base 10 (rappresentazione decimale)

Base 2 (rappresentazione binaria)

Base 8 (rappresentazione ottale)

Base 16 (rappresentazione esadecimale)

NB mentre per rappresentare un numero nelle prime 3 basi sono sufficienti i 10 caratteri 0-9, in base esadecimale servono degli altri simboli per rappresentare i numeri 10,11,12,13,14 e 15, questi sono	A B C D E e F

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Conversioni tra basi: esempi (1)

Il numero binario 10011 convertito in base 10 vale 1*1+1*2+0*4+0*8+1*16=19

Il numero ottale 5071 convertito in base 10 vale 1*1+7*8+0*64+5*512=1+56+2560=2617

Il numero esadecimale 48F convertito in base 10 vale 15*1+8*16+4*256=15+128+1024=1167

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Conversioni tra basi: esempi (2)

Come convertiamo il numero decimale 19 in base 2? Esprimendolo come una combinazione lineare di potenze di 2

1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 + 1*16

ovvero eseguendo divisioni successive per 2, fermandosi al risultato intero e registrando il resto ...

Dividendo	Risultato	Resto

19	9	1

9	4	1

4	2	0

2	1	0

1	0	1

E ricordando che il primo resto è il coefficiente del termine di ordine più basso del polinomio avremo 10011.

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Conversioni tra basi:esempi (3)

Conversione in base 8 del numero decimale 2617: questa volta si procede mediante divisioni successive per 8

Dividendo	Risultato	Resto

2617	327	1

327	40	7

40	5	0

5	0	5

E quindi la rappresentazione ottale cercata è 5071

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Conversioni tra basi: esempi (4)

Conversione del numero decimale non intero 15.375 in base 2:

Parte intera: 15

ovvero 1111 in base 2

Parte frazionaria:0.375 = 0*1/2 + 1*1/4 + 1*1/8

ovvero 0.011 in base 2

Quindi 15.375 in base 10 corrisponde a 1111.011 in base 2

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Conversioni tra basi: esempi (5)

Metodo generale per convertire la parte frazionaria: moltiplicazioni successive per la nuova base registrando le parti intere. In questo caso N=0.375 moltiplicatore=2

Moltiplicando risultato parte intera

0.375 0.750 0

0.750 1.500 1

0.500 1.000 1

0

E ritroviamo 0.011

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Conversioni tra basi: esempi (6)

Caso particolarmente semplice: le conversioni tra basi che sono potenze di 2 (binaria, ottale, esadecimale). Infatti 3 bit (valori compresi tra 0 e 7) corrispondono ad una cifra ottale e 4 bit (valori compresi tra 0 e 15) corrispondono ad una cifra esadecimale.

Il numero decimale 19 si scrive

in base 2 0 0 0 1 0 0 1 1

in base 8 2 3

in base 16 1 3

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Operazioni fra variabili numeriche binarie

Addizione:

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10

Sottrazione:

0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 10-1=1

Moltiplicazione:

0*0=0, 1*0=0, 1*1=1

Divisione:

0/1=0, 1/1=1, 10/1=10

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Esempi di operazioni fra variabili numeriche binarie

11010101+1100011=100111000

(213+99=312 in base 10)

1010011-101001=101010

(83-41=42 in base 10)

10110*11=1000010

(22*3=66 in base 10)

1001010/101=1110 con resto di 4

(74/5=14.8 in base 10)

NB 4/5=0.8 ha un numero infinito di cifre in rappresentazione binaria.

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Rappresentazione in memoria dei numeri

Disponiamo di due soli stati e quindi non possiamo inserire un separatore tra due numeri in memoria (servirebbe un terzo stato).

I numeri in memoria quindi occupano una quantità fissata di bit consecutivi (voce di memoria) qualunque sia il loro numero di cifre significative.

Il numero di bit di una voce varia a seconda dell'elaboratore ma è sempre un multiplo di 4 (generalmente di 8).

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Rappresentazione in memoria dei numeri interi

Per registrare un numero intero in una voce dobbiamo registrarne sia il segno che il valore.

Per il segno ci sono due possibilità: riservagli un bit, per esempio il primo da sinistra, oppure utilizzare il suo complemento . Per i numeri interi si utilizza generalmente questa seconda soluzione.

La complementazione consiste nello scambiare tutti gli 0 di un numero con degli 1 e viceversa e nell'aggiungere un 1 al bit meno significativo (quello più a destra).

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Rappresentazione in memoria dei numeri interi

Suppondendo di lavorare con una voce a 32 bit (4 byte) il numero 19 sarà rappresentato da

00000000 00000000 00000000 00010011

Mentre –19 sarà

11111111 11111111 11111111 11101101

Con questa rappresentazione dei numeri negativi è immediato avere (19)+(-19)=0 !

00000000 00000000 00000000 00010011 +

11111111 11111111 11111111 11101101 =

0 00000000 00000000 00000000 00000000

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Rappresentazione in memoria dei numeri razionali

Per registrare un numero razionale binario, per esempio +110.010011 sorge il problema di non poter indicare la posizione del punto decimale che è variabile (floating point).

La soluzione generalmente adottata consiste nell'esprimere il numero in forma esponenziale "normalizzata“e registrare separatamente nella voce l'esponente e la mantissa.

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Rappresentazione in memoria dei numeri razionali

Lo standard IEEE 754 prevede nel caso di voci a 32 bit che

il bit più significativo (bit 31) indichi il segno della mantissa (0=+, 1=-)

i successivi 8 bit (bit 30-23) contengano la rappresentazione dell'esponente nella forma "eccesso a 127" (ovvero esponente+127, consentendo di includere il segno)

i rimanenti 23 bit (bit 22-0) contengano la parte frazionaria della mantissa

+-

esponente

mantissa

31

30

22

23

0

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Rappresentazione in memoria dei numeri razionali

Poichè la mantissa è "normalizzata" è sempre del tipo 1.xxxxxx e quindi non è necessario rappresentare l'1 prima del punto. La mantissa è dunque espressa con 24 bit ma solo i 23 meno significativi sono rappresentati.

Fa eccezione il numero 0 per il quale tutti e 32 i bit sono nulli.

La rappresentazione dell'esponente può assumere valori compresi tra –127 e 128, estremi però riservati a indicare condizioni eccezionali.

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Rappresentazione in memoria dei numeri razionali: esempio

Rappresentiamo il numero decimale 0.03125

la rappresentazione in forma esponenziale normalizzata è

il segno è +, quindi il bit più significativo sarà 0

l'esponente sarà registrato come 127-5=122 che in forma binaria si scrive 01111010

la parte frazionaria della mantissa normalizzata è 0

Otteniamo quindi

00111101 00000000 00000000 00000000

in notazione esadecimale (più compatta) 3D000000

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Numeri rappresentabili (32 bit)

Numeri interi compresi tra

Ovvero tra i numeri decimali –2147483648 e 2147483647

Lo zero e alcuni numeri razionali compresi tra

Infatti la minima distanza tra due numeri razionali consecutivi è data dal bit meno significativo della mantissa per 2 elevato all'esponente.

Se il modulo di un numero è maggiore del massimo numero rappresentabile si ha un overflow, se è compreso tra zero ed il più piccolo numero positivo rappresentabile si ha un underflow.

Numeri rappresentabili (64 bit)

lo standard IEEE 754 prevede la definizione di numeri razionali in doppia precisione (64 bit)

la convenzione adottata e' la stessa riservando 11 bit per l'esponente anziche' 8

in questa rappresentazione i valori massimo e minimo sono rispettivamente e

Approssimazioni

tutti i numeri non interi si approssimano al numero razionale piu' vicino che ammetta una rappresentazione finita (parte frazionaria esprimibile come somma di un numero limitato di potenze di 2)

due numeri piu' vicini tra loro di 2-n , con n numero di bit riservati alla mantissa, sono considerati uguali

un numero minore del piu' piccolo numero rappresentabile equivale a 0 (underflow)

la conseguenza di cio' sono errori generalmente piccoli, la cui propagazione puo' generare errori significativi.

particolare attenzione va prestata ai casi in cui gli operandi siano molto diversi o molto simili tra loro.

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Variabili logiche

La logica si occupa di proposizioni o enunciati che possono assumere due soli stati, vero o falso, che sono quindi rappresentabili in un sistema binario.

Scegliamo la convenzione che assegna i valori 1 ad una proposizione vera e 0 ad una falsa.

Le operazioni logiche fra tali proposizioni dovranno riprodurre le funzioni (operatori logici) "e", "o", "non" e le loro combinazioni.

Siano A e B due variabili logiche definiamo alcune operazioni tra di esse.

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Operazioni logiche: AND

Prodotto logico: corrisponde all'"e" del linguaggio comune ed è indicato col termine AND. Si indica con P=A.B (ma si codifica in modo diverso a seconda del linguaggio di programmazione!). P è vero solo se lo sono sia A che B. La "tabella della verità" è:

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

P=A.B

B

A

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Operazioni logiche: OR

Somma logica inclusiva: corrisponde all'"o" del linguaggio comune ed è indicata col termine OR. Si indica con S=A+B (ma si codifica in modo diverso a seconda del linguaggio di programmazione!). S è vera solo se lo è almeno una delle variabili A e B.

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

S=A+B

B

A

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Operazioni logiche: XOR

Somma logica esclusiva: corrisponde all'"o" restrittivo del linguaggio comune ed è indicata col termine XOR. Si indica con S=A/B (ma si codifica in modo diverso a seconda del linguaggio di programmazione!). S è vera solo se lo è una sola delle variabili A e B.

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

S=A+B

B

A

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Operazioni logiche: NOT

Inversione logica: corrisponde al "non" del linguaggio comune ed è indicata col termine NOT. Si indica con I=A, o I=-A (ma si codifica in modo diverso a seconda del linguaggio di programmazione!). I è vera solo se A è falsa

0

1

1

0

I=A

A

rappresentazione dei caratteri

un carattere e' un simbolo grafico rappresentante:

un fonema (lettera dell'alfabeto: 'a', 'A'...)

un segno di punteggiatura (incluso lo spazio: '?', ' ',';'... )

una cifra da 0 a 9 ('0'...'9')

un elemento di controllo (andata a capo, fine stringa...)

altri simboli (valute, ideogrammi...)

un modo semplice per rappresentare questo tipo di informazione e' un codice numerico convenzionale

il codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) usa 8 bit (256 caratteri possibili). I primi 128 da 0 (NULL) a 127 sono definiti univocamente, i restanti 128 variano con la codifica scelta

una sua estensione e' UNICODE che ha come obiettivo di associare a ciascun carattere esistente nel mondo un codice univoco.

stringhe di caratteri

una stringa e' una sequenza di caratteri (parola, frase) anche priva di senso compiuto.

puo' includere qualsiasi carattere in qualunque posizione, ad eccezione del carattere NULL (in codice 0) che viene usato come segno distintivo della fine della stringa e deve quindi comparire una ed una sola volta come ultimo carattere.

una stringa composta da n caratteri ha una lunghezza totale nella sua rappresentazione di n+1 caratteri includendo lo 0 finale.

I dati numerici e non vengono trascritti in memoria utilizzando una codifica. E’ importante conoscere i principi alla base di questa operazione di traduzione sia per poter effettuare delle conversioni tra diverse rappresentazioni dei numeri che per comprendere i limiti dei calcolatori. Questi infatti non sono in grado di memorizzare qualsiasi numero ed un programmatore deve sapere in quali circostanze possono verificarsi degli errori dovuti alla non rappresentabilita` di certi dati.

Qualunque scelta si faccia per rappresentare i numeri negativi questa deve essere tale che la somma di un numero e del suo complemento dia come risultato 0.

Gli 8 bit riservati per l’esponente assumono valori compresi tra 0 e 255. La convenzione di “eccesso 127” consente di memorizzare esponenti compresi tra -127 e 128.

Ricordate quindi che i numeri, sia interi che reali, sono compresi in un intervallo ben definito, e che i numeri reali descrivibili sono solo un numero finito all’interno di detto intervallo.

Le variabili logiche assumendo due soli valori sono in pratica degli interi rappresentati da un bit solo. Si attribuisce loro un ruolo particolare in quanto le operazioni tra di esse, pur essendo riconducibili ad operazioni aritmetiche tra interi, hanno una corrispondenza diretta con il nostro modo di pensare.

Laboratorio di Calcolo I: rappresentazione dei dati

Domizia Orestano - Dipartimento

2001-09-17T10:24:34