Integrazione numerica

Integrazione di funzioni

Concentriamoci su integrali in una dimensione del tipo

I = D f(x) dx

dove D è un dominio di integrazione definito (ad esempio l'intervallo [a,b] dell'asse x)

Esistono diversi metodi, in questa lezione mostreremo i più semplici (per una trattazioen piu' completa si rinvia al cap.8 del testo).

Metodo dei rettangoli

Si approssima la funzione con un valore costante (polinomio di Lagrange di grado 0) in un intervallo [a,b]:

f(x) f((a+b)/2) (caso particolare del metodo del punto di mezzo)

L'integrale esteso a tale intervallo vale

f((a+b)/2) (b-a)

L'errore commesso è pari all'integrale

della r(x)=f(x)- f((a+b)/2) ed è tanto più grande quanto più esteso è l'intervallo di integrazione (va col quadrato della dimensione dell'intervallo)

Per ridurre l'errore si suddivide l'intervallo di integrazione in tanti intervallini.

Metodo dei rettangoli

b

a

x

f(x)

Metodo dei rettangoli

b

a

x

f(x)

Metodo dei trapezi

Si approssima la funzione con un polinomio di Lagrange di grado 1 (retta) in un intervallo [a,b]:

f(x) ( (f(b)-f(a))*x + (b*f(a)-a*f(b)) ) / (b-a)

L'integrale esteso a tale intervallo vale

(f(a)+f(b))*(b-a)/2

Per l'errore valgono le considerazioni precedenti: l'errore è dell'ordine di (a-b) al cubo per la derivata seconda della f calcolata in un punto interno all'intervallo.

Per ridurre l'errore si suddivide ancora l'intervallo di integrazione in tanti intervallini.

Metodo dei trapezi

b

a

x

f(x)

metodo Monte Carlo

se si estraggono casualmente N valori xi della variabile x nell'intervallo [a,b], per N sufficientemente grande e distribuzione uniforme (ma il metodo vale anche per diverse distribuzioni di probabilita', vedi testo) e' come se

si fosse suddiviso l'intervallo di integrazione in N intervallini di dimensioni simili, ed in media pari a (b-a)/N

si fosse scelto a caso un punto all'interno di ogni intervallo nel quale valutare la funzione f(x)

l'integrale della funzione f nell'intevallo [a,b] puo' quindi essere approssimato con la sommatoria

Si=1,n f(xi)*(b-a)/N

laboratorio di calcolo I - 16)applicazioni: metodi numerici

Domizia Orestano

1995-05-28T17:10:28