The aim of this project is to develop and apply efficient mathematical tools for studying quantum and classical phenomena in a discrete setting.
The motivation is on one hand that on the fundamental level it seems that space-time is discrete, because of the existence of the Planck length and its role e.g. in quantum gravity. On the other hand, even in a continuous world many important phenomena are discrete, such as phenomena occurring in crystals or in molecular or atomic chains. Thus difference equations may be more fundamental than differential ones. Moreover, differential equations often have to be solved numerically and that means that they have to be discretized, i.e. approximated by a difference system.
Our main interest is in models that can be solved exactly because of their symmetry and integrability properties. Of special interest are finite and infinite dimensional integrable and superintegrable models. Integrable systems have as many commuting integrals of motion as degrees of freedom (which may be infinite). Superintegrable systems have more integrals of motion than degrees of freedom and these integrals form interesting non-Abelian algebras. The integrals of motion are related to symmetries of the system. These may be Lie point symmetries but usually they are generalized symmetries and they form more general algebras than Lie ones. Our aim is to study and use Lie symmetries of difference equations and to discretize differential equations preserving their most important properties. These include their Lie point symmetries, generalized symmetries, integrability and superintegrability.
In order to do so we plan to host a top-class researcher from a Canadian first class laboratory, Prof. Pavel Winternitz of the Centre de recherches mathématiques, Université de Montréal, Monreal (PQ) Canada, an expert in the field of symmetry preserving discretization and construction of superintegrable systems. This will strengthen the host institution’s research skills and its relations with the laboratory of the researcher.
Coordination
Roma Tre University , VIA OSTIENSE 159
00146 ROMA, Italy
1. P. Winternitz partecipation to Conferences
i. Symmetry and Perturbation Theory (SPT2014), Cala Gonone, Nuoro, Italia, from May 25 till June 1, 2014. Poster, Program, Slides, Photo.4. P. Winternitz articles published, submitted or in preparation
i. Alexander Bihlo, Xavier Coiteux-Roy and Pavel Winternitz, The Korteweg-de Vries equation and its symmetry-preserving discretization, arXiv:1409.4340, 2015 J. Phys. A: Math. Theor. 48 055201 doi:10.1088/1751-8113/48/5/055201 Preprint, Article.Lo scopo di questo progetto è quello di sviluppare ed applicare strumenti matematici moderni per lo studio dei fenomeni quantistici e classici in un ambito discreto. La motivazione è, da un lato quella che al livello della fisica di base sembra che lo spazio - tempo è discreto a causa della esistenza della lunghezza di Planck ed il suo ruolo ad esempio nella gravità quantistica. D'altra anche nel mondo continuo molti importante fenomeni sono discreti, come ad esempio i fenomeni che si verificano in cristalli o in catene molecolari o atomiche. Così un'equazioni alle differenze finite può essere più fondamentale di un'equazione differenziale. Inoltre, le equazioni differenziali spesso possono essere risolte solo numericamente e percio' devono essere discretizzate, cioè approssimate da un sistema alle differenze finite.
Il nostro interesse principale è nei modelli che possono essere risolti esattamente a causa delle loro proprietà di simmetria e di integrabilità. Di particolare interesse sono i modelli integrabili e superintegrabili a dimensione finita ed infinita. I sistemi integrabili hanno tanti integrali primi del moto quanti sono i gradi di libertà (che possono anche essere infiniti). I sistemi superintegrabili hanno più integrali del moto dei gradi di libertà e questi integrali formano interessanti algebre non abeliane. Gli integrali del moto sono correlati con le simmetrie del sistema. Queste possono essere simmetrie puntuali di Lie, ma di solito sono simmetrie generalizzate e formano algebre più generali di quelle di Lie. Il nostro obiettivo è quello di studiare e utilizzare simmetrie di Lie di equazioni alle differenze per discretizzare le equazioni differenziali preservando le loro proprietà più importanti. Queste includono le loro simmetrie puntuali di Lie, simmetrie generalizzate, integrabilità e superintegrabilita'.
Per fare questo abbiamo chiamato un ricercatore di alto livello da un centro di ricerca d'eccellenza canadese, il Prof. Pavel Winternitz del Centre de recherches mathématiques, Université de Montréal, Montreal (PQ) Canada, esperto nel campo della discretizzazione preservando le simmetrie e nella costruzione di sistemi superintegrabili. Ciò rafforzerà le capacità di ricerca dell'istituto ospitante e le sue relazioni con il laboratorio del ricercatore ospitato.