Esercizi: Problemi su Strumenti Statistici

${\bf Problema.}$ Un modo per il calcolo approssimato di $\pi$ con l'uso di un generatore di numeri casuali (metodo montecarlo) consiste nel generare una coppia di numeri aleatori ($r_x$ e $r_y$) distribuiti uniformemente tra $0$ e $1$. Interpretando ($r_x, r_y$) come coordinate cartesiane, questa coppia individua un punto $P$ nel quadrato di lato “$1$” con un vertice nell'origine degli assi. Se $(r^2_x+ r^2_y)\le 1$ il punto $P$ di trova dentro il quarto di cerchio di raggio $1$ centrato nell'origine; associamo a questo evento la variabile di Bernoulli $X=1$. Nel caso $(r^2_x+ r^2_y)> 1$ la variabile di Bernoulli sarà $X=0$. Ovviamente \[ P(X)=\frac{\mbox{Area del cerchio/4}}{\mbox{Area del quadrato}}=\frac{\pi /4}{1}=\frac{\pi}{4} \] Consideriamo un processo di Bernoulli consistente in $n$ eventi del tipo descritto: $X_1,X_2,\ldots,X_n$. Avremo che \[\E[\overline{X}]=\frac{1}{n}\sum \E[X_i]=\frac{\pi}{4}\]
Usando la legge di grandi numeri determinare $n$ in modo che la probabilità che la grandezza \[ 4\overline{X} =\frac{4}{n}\sum X_i \] differisca da $\pi$ di una parte su mille sia minore del $1\%$.