Esercizi: Problemi di calcolo delle probabilita'

Si considerino due processi nel tempo e indipendenti di Poisson con frequenze medie $\lambda_1$ e $\lambda_2$ (ad esempio il numero di automobili e motociclette che arrivano ad un casello autostradale oppure i clienti donne e uomini che entrano in un negozio). Siano $N_1(t)$ e $N_2(t)$ il numero degli eventi dei due processi che accadono entro il tempo $t$ a partire da un certo istante iniziale $(t=0)$. Si indichi con $N(t)$ la somma degli eventi dei due processi: $N(t)=N_1(t)+N_2(t)$

1. Trovare la probabilita' che $N(t_o)=2$ e $N(2t_o)=5$, ovvero $P(\{N(t_o)=2\}\cap\{N(2t_o)=5\})$
2. Dato $N(t_1)=2$ trovare la probabilita' che $N_1(t_1)=1$

Valori numerici $\lambda_1=1.0\,$s$^{-1}$, $\lambda_2=2.0\,$s$^{-1}$, $t_o=0.5\,$s e $t_1=1.0\,$s