Complementi di
Metodi Matematici

A.A. 2018/19

Introduzione al corso

Lo scopo del corso è rendere lo studente familiare con gli strumenti di base per trattare le algebre di Lie e le loro rappresentazioni.
Inoltre lo studente dovrà apprendere a svolgere calcoli al computer, sia di natura simbolica sia di natura numerica, rilevanti per gli argomenti del programma del corso. Per tali calcoli è previsto l'utilizzo dei linguaggi Wolfram e Python o linguaggi alternativi preferiti dallo studente.

L'esame prevede una prova scritta, che richiede di scrivere un programma per computer e un breve esercizio (cartaceo) di teoria dei gruppi, e una prova orale. L'orale verte su tutto il programma elencato qui di seguito (ad esclusione degli argomento con asterisico, il programma é aggiornato a fine corso) e su una tesina. La tesina sarà su un argomento a scelta dello studente tra una rosa di proposte (vedi sotto) su argomenti inerenti la prima parte del corso (teoria dei gruppi) o la seconda parte del corso (metodi numerici). Le tesine comprendono una lista di sotto-argomenti via via più complessi. Lo studente decide quali e quanti di questi sotto-argomenti trattare in base al proprio interesse personale e all'ambizione per la valutazione finale.

Introduction to the course

The aim of the course is to learn the basic tools to deal with Lie algebras and their representations and to acquire computer calculation techniques, both for symbolic and for numerical calculations. Topics of the course will be dealt with using either Wolfram Language and Python or alternative computer languages preferred by the student.

The exam is made of a written test and an oral discussion. The written test requires the writing of a computer program in the computer lab and the solution of a short group theory excercise (on paper). The oral discussion starts from questions on the topics listed here below (except topics marked with *, list updated at the end of the course) and a presentation prepared by the student. The topic of the presentation will be one among those proposed (see below) focused on either the group theory part of the course or the numerical methods part. The material proposed for each presentation ecompasses a list of sub-topics of growing complexity. The student decides which of these sub-topics to include in the presentation according to interest and ambition for the final evaluation.

Programma Dettagliato

  • Teoria dei Gruppi (Ogni argomento qui elencato corrisponde ad un capitolo sul libro indicato in bibliografia con CA, che comprende anche esercizi suggeriti per la preparazione dell'esame scritto)
      La forma di Killing (note)
      Algebre di Lie semplici (note)
      Rappresentazioni e pesi (note)
      Radici e loro prodotto scalare (note)
      Radici semplici (note)
      Matrice di Cartan (note)
      Diagrammi di Dynkin (note)
      Indice di Dynkin e pesi della rappresentazione dal peso più alto (note)
      Combinazione di rappresentazioni (note)
      Classificazione delle algebre "classiche"e di quelle "eccezionali" (note)
      Costruzione dell'algebra, esempio di SU(N) (note)
      Operatore di Casimir e la formula di Freudenthal*
      Il gruppo di Weyl *
      La formula della dimensione di Weyl *
      Riduzione del prodotto di rappresentazioni *
      Sub-algebre *
      Regole di decomposizione *

  • Metodi Numerici

      Probabilità e variabili random DU1
      Richiami su Misure, inceretezze e loro propagazione TA1,2,3,4 (notebook)
      Richiami su Fit di una curva, minimi quadrati, ottimizzazione TA8,9 (notebook)
      Integrazione numerica classica, velocità di convergenza WE2 (html) (ipynb) (nb)
      Integrazione MC, media e varianza WE3, DU3.1, DU3.2 (html) (ipynb)
      Strategie di campionamento* WE3
  • Applicazioni
      • Generazione di dati secondo una distribuzione DU3.2 (ipynb) (html)

    Syllabus

  • Group Theory (CA)
      SU(2) and SU(3)
      The Killing Form
      Simple Lie Algebras
      Representations
      Simple Roots and the Cartan Matrix
      The Classical Lie Algebras
      The Exceptional Lie Algebras
      Casimir Operators and Freudenthal’s Formula
      The Weyl Group
      Weyl’s Dimension Formula
      Reducing Product Representations
      Subalgebras
      Branching Rules

  • Numerical Methods

      • Refresh on Probability and Random variables
      Refresh on Measurement, uncertainty and its propagation
      Refresh on Curve-fitting, least-squares, optimization
      Classical numerical integration, speed of convergence
      Integration MC (Mean, variance)
      Sampling Strategies
  • Applications
      • Propagation of uncertainties
      Generation according to a distribution

    Letture consigliate

    Suggested readings

    Tesine

    • G: SU(N), tableaux e rottura di simmetrie (PDF)

    • N: Classificatori (PDF)

    Final Projects

    • G: SU(N), tableaux, symmetry breaking (PDF)

    • N: Classifiers (PDF)

    Risorse

      Materiale didattico
        Introduzione a Wolfram Mathematica (notebook)
        Manipolazione di liste e suddivisione del programma in calcolo+iterazione in Wolfram Mathematica (notebook)
        Propagazioni degli errori e Repliche (notebook)
        Introduzione a Python (con Jupyter) (ipynb) (html)
        Funzioni con argomento vettoriale (ipynb) (html)
        Manipolazioni liste Pandas e Numpy (ipynb)(html)
        Generazione di funzioni polinomiali da Rn a R (html)

    Resources

      Learning material
        Introduction to Wolfram Mathematica (notebook)
        List manipulations and computation+iteration paradigm in Wolfram Mathematica (notebook)
        Error propagation and Replicas (notebook)
        Introduction to Python (with Jupyter) (ipynb) (html)
        Functions with vectorial argument (ipynb) (html)
        List Pandas and Numpy manipulations (ipynb)(html)
        Function generator from a point in Rn to a real number (html)